Lúc mới học log, mình thấy nó khá khó chịu. Không phải vì công thức, mà vì câu hỏi này: “Tại sao logarithm (log) lại tồn tại?”
Nếu chỉ học kiểu:
$$ \log_4(16) = 2,\quad \log_4\left(\frac{1}{16}\right) = -2 $$
thì rất dễ quên. Vì não mình không biết tại sao mình cần nó.
Bài này mình viết để trả lời đúng câu hỏi đó: log ra đời để làm gì, và vì sao ln được dùng nhiều nhất.
1. Log không sinh ra vì toán học đẹp
Log ra đời vì con người… mệt.
Trước khi có máy tính, người ta phải nhân và chia những con số rất lớn: tính lãi suất, hàng hải, thiên văn, thương mại. Nhân tay là cực hình.
Ý tưởng thiên tài lúc đó là:
“Có cách nào biến phép nhân thành phép cộng không?”
Nếu một số được viết dưới dạng lũy thừa:
$$ a^m \times a^n = a^{m+n} $$
thì phép nhân biến thành phép cộng.
Log chính là cách để ghi lại số mũ đó.
2. Log thực sự đo cái gì?
Log chỉ trả lời một câu hỏi duy nhất:
“Cần nhân cơ số bao nhiêu lần để ra con số này?”
Ví dụ:
$$ \log_4(16) = 2 \quad \Rightarrow \quad 4^2 = 16 $$
$$ \log_4\left(\frac{1}{16}\right) = -2 \quad \Rightarrow \quad 4^{-2} = \frac{1}{16} $$
Dấu âm xuất hiện tự nhiên khi bạn đi ngược lại quá trình tăng trưởng.
3. Vì sao thế giới cần log?
Vì thế giới thật không tăng theo kiểu cộng, mà tăng theo kiểu nhân.
Rất nhiều hiện tượng có dạng:
$$ x_{t+1} = x_t \times (1 + r) $$
Ví dụ: tiền lãi, dân số, vi khuẩn, giá tài sản.
Kiểu tăng này được gọi là tăng trưởng nhân.
Tiền lãi
Giả sử bạn có 1$, và một ngân hàng hào phóng đến mức trả lãi suất 100% mỗi năm.
Câu hỏi là: bạn nhận lãi theo cách nào?
Trường hợp 1: Nhận lãi 1 lần/năm
Cuối năm, bạn nhận toàn bộ lãi một lần:
$$ 1 + 1 = 2 $$
Cách này trông giống như tiền tăng bằng phép cộng.
Trường hợp 2: Nhận lãi 2 lần/năm
Mỗi 6 tháng, bạn nhận 50% lãi. Điểm quan trọng là:
lãi của kỳ trước được nhập vào gốc để tính lãi cho kỳ sau.
Ở kỳ thứ hai, tiền không còn được tính trên số tiền ban đầu, mà được tính trên kết quả của kỳ trước:
$$ \text{Sau kỳ 1:}\quad 1 \times (1 + 0.5) $$
$$ \text{Sau kỳ 2:}\quad \bigl[1 \times (1 + 0.5)\bigr] \times (1 + 0.5) $$
$$ = 1 \times (1 + 0.5)^2 $$
Cuối năm:
$$ 1 \times (1 + 0.5)^2 = 2.25 $$
Tiền nhiều hơn, dù lãi suất không đổi.
Trường hợp 3: Nhận lãi hàng tháng (12 lần/năm)
Mỗi tháng, bạn nhận:
$$ \frac{100\%}{12} $$
Cuối năm:
$$ 1 \times \left(1 + \frac{1}{12}\right)^{12} \approx 2.613 $$
Tiền tăng không phải vì lãi cao hơn, mà vì lãi được nhân lên trên chính nó.
Trường hợp 4: Nhận lãi hàng ngày (365 lần/năm)
Cuối năm:
$$ 1 \times \left(1 + \frac{1}{365}\right)^{365} \approx 2.714 $$
Càng chia nhỏ thời gian, bạn càng tận dụng được hiệu ứng nhân.
Bản chất thật sự của tăng trưởng
Điều quan trọng không phải là con số cuối cùng, mà là cấu trúc chung:
$$ 1 \times (1 + r)^n $$
Tiền không tăng bằng cách cộng từng phần, mà tăng bằng cách liên tục nhân với một tỷ lệ.
Đây chính là bản chất của tăng trưởng nhân.
Khi thời gian được chia vô hạn
Nếu việc trả lãi diễn ra liên tục từng khoảnh khắc, thì biểu thức trên hội tụ về:
$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $$
Và giá trị cuối cùng là:
$$ 1 \times e $$
Số $e$ sinh ra từ chính bài toán này, không phải do toán học bịa ra.
Log xuất hiện để làm gì?
Khi một đại lượng tăng theo kiểu:
$$ x_{t+1} = x_t \times (1 + r) $$
thì việc nhân lặp lại qua thời gian rất khó phân tích trực tiếp.
Log được sinh ra để xử lý đúng kiểu tăng trưởng này:
$$ \ln(x_{t+1}) = \ln(x_t) + \ln(1 + r) $$
Phép nhân theo thời gian biến thành phép cộng.
Đây là lý do log tồn tại: để con người làm việc được với những thứ tăng theo kiểu nhân.
4. Vì sao lại có nhiều loại log?
Ta có thể dùng log với bất kỳ cơ số nào:
$$ \log_2(x),\quad \log_{10}(x),\quad \log_3(x),\ldots $$
Các hàm này có hình dạng giống nhau. Khác nhau chủ yếu ở thang đo.
Câu hỏi quan trọng là:
Tại sao khoa học và tài chính lại chọn ln?
5. ln là gì, và vì sao gọi là “tự nhiên”?
ln là log cơ số $e$, với:
$$ e \approx 2.71828 $$
Số $e$ sinh ra từ bài toán lãi kép liên tục:
$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $$
Điều này có nghĩa là:
ln đo tăng trưởng liên tục theo đúng đơn vị thời gian.
6. So sánh ln(x) và log10(x)
Khi vẽ $ \ln(x) $ và $ \log_{10}(x) $:
- Hình dạng gần như giống nhau
- Không có cái nào “đúng” hơn
Nhưng:
Chỉ với ln, tốc độ thay đổi tại $x = 1$ đúng bằng 1:
$$ \left.\frac{d}{dx}\ln(x)\right|_{x=1} = 1 $$
Đây là lý do ln được gọi là “tự nhiên”.
7. Log làm dữ liệu dễ phân tích hơn
Nếu giá tăng theo tỷ lệ:
$$ P_t = P_0 \times (1+r)^t $$
thì đồ thị $P_t$ sẽ cong và ngày càng dốc.
Nhưng khi lấy log:
$$ \ln(P_t) = \ln(P_0) + t \ln(1+r) $$
Tăng trưởng nhân trở thành tuyến tính theo thời gian.
Log không làm méo dữ liệu — log làm lộ cấu trúc tăng trưởng thật.
8. Kết nối với log-return
Log-return được định nghĩa là:
$$ r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) $$
Nó cho phép cộng dồn theo thời gian:
$$ \ln\left(\frac{P_T}{P_0}\right) = \sum_{t=1}^{T} r_t $$
Đây là lý do log-return là chuẩn trong tài chính định lượng.
9. Một câu để nhớ lâu
Giá tăng theo nhân, thời gian trôi theo cộng.
Log là cây cầu nối hai thứ đó.
Khi hiểu điều này, $\ln(1.01)$ không còn là công thức, mà là điều hiển nhiên.
Nhận xét
Đăng nhận xét